عملا برای ساده سازی و متناظر کردن این سیستم ها از تبدیل لاپلاس استفاده میکنیم اما ممکن است سوال پیش آمده باشد که چگونه است که از این تبدیل استفاده میکنیم یا چرا از این تبدیل استفاده میکنیم .
علت استفاده ما از این تبدیل را باید در جزئیات بیابیم. باید دلیل و علت آن را در تعاریف و قرارداد ها بیابیم.
مثلا تعریف یک سیستم خطی این است که فرضا اگر ما یک ولت به ورودی بدهیم و خروجی ده ولت شود، سپس اگر دو ولت به ورودی بدهیم و خروجی بیست ولت شد، حالا اگر مجموع این ولتاژ هارا بدهیم باید در خروخی نیز مجموع آثار آن را دریافت کنیم. میشود گفت که جمع آثار در اینجا صادق است یا به عبارتی جمع آثار برای سیستم های خطی صادق است.
مثلا اگر ما از یک دیود که عنصری غیر خطی است استفاده کنیم، اگر یک دهم ولت به آن بدهیم جریانی نخواهیم داشت.
اگر هفتاد بار هم این یک دهم را بدهیم جریانی نداریم اما نمیتوانیم هفتاد تا یک دهم ولت به دیود بدهیم و انتظار داشته باشیم جمع جریان عبوری از آن باز هم صفر بماند یا از جمع جریان های یک دهم تبعیت کند زیرا دیود با توجه به منحنی مشخصه اش یک عنصر غیر خطی است.
از جمله دیگر علت ها که باید آن را در قرارداد های ریاضی بیابیم تخمین زدن و حد است.
به عنوان مثال ما نمیتوانیم با یک تابع ناشناخته و تصادفی تحلیل های مورد نظر را داشته باشیم اما اطمینان داریم که این تابع :
یا یک است که در این صورت توسط تبدیل فوریه به جمع آثار ولتاژ های سینوسی تبدیل میشود سپس می توان هر موج سینوسی یا کسینوسی را جداگانه مورد تحلیل قرار داد و در خروخی اثار آن را جمع زد،
یا غیر یک است که در این صورت حتی اگر سیگنال ده ها ساعت یا هر مقدار دیگری باشد انتهایی خواهد داشت در این صورت ما میتوانیم کل این زمان را به عنوان یک در نظر گرفته و آن را تعمیم داده و یک فرض کنیم و باز هم آن را از مجموعی از امواج سینوسی بنویسیم.یا اینکه از انتگرال فوریه استفاده کنیم . که در این حالت ها اگرچه فرکانس های سینوسی یک طیف پیوسته هم باشند و تعدادشان به بینهایت میل کند اما باز هم قضیه جمع آثار صادق بوده و ما میتوانیم از اثر هر یک از این سیگنال ها استفاده کنیم و خروجی را نیز به صورت مربوط بنویسیم.
پس میتوان گفت هر سیگنال ورودی را میتوان به صورت جمعی از سیگنال های سینوسی و کسینوسی نوشت.
ضمنا توابع ورودی ما حقیقی هستند و تابع ورودی موهومی را غیر واقعی و غیر عملی در نظر می گیریم.
از جمله دیگر جزئیاتی که باید در نظر گرفت بسط های فوریه ، تیلور و مک لورن می باشند.
فرض کنید ما یک موج سینوسی داریم. با شرایط خاص بسط تیلور مثل بینهایت نبودن سیگنال و . بدون شک می توانیم هر سیگنالی را به صورت بینهایت جمله با توان خود بنویسیم یعنی یک چند جمله ای بزرگ و تنها ضرایبی از ایکس با ضریب و توان خود.
بهر شکل ما قادریم هر سیگنالی چه یک و چه غیر یک را به صورت سینوسی و کسینوسی بنویسیم.
در سریه فوریه دو نوع محاسبه وجود دارد، یکی به روش نمایی و دیگری به روش معمولی.
این دو روش بهم مرتبط اند از جمله اختلاف هایی که دارند حدود سیکما است. مثلا در فرم نمایی ما از منفی بینهایت تا مثبت بی نهایت جمع جملات را محاسبه می نماییم. اما در فرم معمولی تنها از صفر تا بی نهایت.
علت این امر آن است که سیگنال های حقیقی هرگز نباید قسمت موهومی داشته باشند. بنابر این در حالت نمایی عدد نپر به توان اپراتور موهومی فرکانس در زمان که مقدار آن برابر است با کسینوس امکا تی به اضافه اپراتور موهومی در سینوس امگا تی ، باید مجموع این جملات طوری محاسبه گردد که قسمت موهومی نداشته باشد.
یکی از روش ها جمع و تفریق هر زمان با منفی زمان آن عبارت است.
به عنوان مثال با اینکه این صورت نمایی از دو قسمت حقیقی و موهومی تشکیل شده است اما میدانیم که سیگنال کسینوس که یک سیگنال حقیقی است از جمع عدد نپر به توان منفی امگا تی و عدد نپر به توان مثبت امگا تی و سپس تقسیم حاصل بر عدد دو تشکیل شده است(به بسط اویلر مراجعه شود)
که در اینجا مشاهده شد هم از زمان منفی و هم از زمان مثبت استفاده شد. و این علت مجموع گیری از منفی بینهایت تا مثبت بینهایت در حالت نمایی فوریه است در حالی که در حالت نرمال نیازی به قسمت منفی نیست.
نکته ای که از مطالب بالا می توانیم دریافت کنیم این است که اگرچه حالت نمایی از دو قسمت موهومی و حقیقی تشکیل شده است اما با توجه به بسط اویلر می توانیم با جمع ها و تفریق های این حالت نمایی(یعنی عدد نپر به توان جی امگا تی ) یک سیگنال حقیقی را به دست آوریم.
بنابر این هر سیگنال حقیقی چه یک و چه غیر یک را می توان با مجموع و تفاضلاتی از e-jwt و ejwt نوشت که هر یک می توانند ضرایب خود را داشته باشند.
هدف نوشتن این مقاله توجیه مفهومی مسائل و نه حل پیچیده ریاضیات است بنابر این مهمترین نتیجه ای که میتوانیم از بحث های بالا بگیریم این است که قادریم تمام سیگنال های خود را با استفاده از این حالت نمایی بنویسیم.
قبل از اینکه به ادامه بحث بپردازیم که چرا از تبدیل لاپلاس استفاده می کنیم اجازه بدهید کمی در مورد تبدیل فوریه صحبت کنیم.
تبدیل فوریه قادر است سیگنال حقیقی مارا به صورت مجموعی از حالت های نمایی با ضرایب ثابت مشخص ارائه دهد. این تبدیل به گونه ای است که فرض را بر آن نهاده که سیگنال ما چه زوج و چه فرد از منفی بینهایت تا مثبت بینهایت کشیده شده است.
مثلا وقتی ما تبدیل فوریه سیگنال کسینوس را محاسبه میکنیم که حاصل آن دو تابع ضربه یکی با مقدار امگا به اضافه امگا صفر و دیگری با مقدار امگا منهای امگا صفر است، در حقیقت داریم تبدیل فوریه تابع کسینوسی را می نویسیم که از گذشته یعنی زمان های منفی برقرار بوده است و سپس از صفر به بعد به حالت خود ادامه میدهد.
اما در صنعت و سیستم های مهندسی این اتفاق نمی افتد و همیشه ما وقتی سیگنال کسینوس را به سیستم می دهیم قبل از آن میزان ولتاژ صفر بوده است و به یکباره این ولتاژ داده میشود بنابر این استفاده از تبدیل فوریه جهت تحلیل سیستم ها تنها برای سیستم هایی به کار میرود و مناسب می اید که قصد تحلیل حالت ماندگار آن را دارد.
به عنوان مثال در درس های دوره هنرستان رشته الکترونیک هنگامی که سیگنالها به ورودی مدار های مختلط داده میشد، ما سیگنال را به صورت اندازه و زاویه در نظر میگرفتیم. اما ایده اولیه این در نظر گرفتن ان است که در حقیقت داریم از همان تبدیل فوریه کسینوس استفاده می کنیم که برابر با ضربه است. اما در هنرستان نه میزان ضربه ورودی را مینویسند و نه خروجی را بر حسب ضربه به دست می آورند زیرا این ضربه در حوزه فرکانس تنها اندازه آن و زاویه اش برای هنرجو مهم بوده است.
با توجه به اینکه در سیستم ها این احتیاج می رود که حالت اولیه سیستم در نظر گرفته شود یا به عبارتی ما تبدیل فرکانسی داشته باشیم که تنها از لحظه صفر به بعد را شامل گردد، از تبدیل لاپلاس استفاده میکنیم.
تبدیل لاپلاس این خاصیت را دارد که سیگنال مارا به طور ذاتی از لحظه صفر به بعد تحلیل میکند و فرض میکند که در قبل از زمان صفر یعنی زمان های منفی ، مقدار آن صفر بوده است.
اگر در فرق بین تبدیل لاپلاس و تبدیل فوریه نگاهی بی اندازیم متوچه میشویم که در تبدیل فوریه بازه انتگرال گیری از منفی بینهایت تا مثبت بینهایت اما در تبدیل لاپلاس از زمان صفر تا مثبت بینهایت تبدیل انتگرال گیری قرار داده شده است و تفاوت دیگر اینکه به جای jw ، حرف s را قرار میدهیم.
در بعضی کتاب ها علت این تفاوت را این میداند که s متغیری مختلط است و نه فقط موهومی خالص. البته این تعریف احتمالا با این تعبیر زمان انتگرال گیری متناظر است چرا که معمولا هیچ وقت جایی نبوده که s عملا مختلط باشد.
هنوز به این سوال که چرا کلا از تبدیل لاپلاس یا حتی فوریه استفاده میکنیم پاسخ نداده ایم.
میدانیم که انتگرال و مشتق یک تابع نمایی مشابه تابع اولیه است و تنها از نظر ضریب و مقدار متفاوت است.
هرگاه عملگر یا سیستمی تابعی را به عنوان ورودی بگیرد و در خروجی همان را تنها با اختلاف یک ضریب ثابت بدهد میگوییم این تابع یک تابع ویژه برای این سیستم و مقدار ضریب آن مقدار ویژه است.
از طرفی دیگر توابع این خاصیت را ندارند .
با توچه به اینکه سیستم های خطی تنها از مشتق ها و انتگرال ها و عملگر های تناسبی و ترکیبی از اینها هستند بنابر این می توان گفت تابع نمایی e-jwt برای تمامی سیستم های خطی یک تابع ویژه است.
تابع est یک تابع ویژه است.
اگر ما تابع est را در یک سیستم خطی به عنوان ورودی بدهیم در خروجی همین سیگنال را تابعی از s دریافت میکنیم چون این تابع که تابعی از s است ارتباطی با t ندارد می توانیم آن را یک مقدار ویژه در نظر بگیریم . این تابع ویژه برای سیستم های کنترل خطی همان تبدیل لاپلاس سیستم یا H است. که به صورت H(s) نوشته می شود.
پس می توان گفت که تبدیل لاپلاس تبدیل مناسبی برای استفاده در سیستم های کنترل خطی است. چرا که تمامی سیگنال های حقیقی یک و غیر یک قابل تبدیل به حالت نمایی بوده و حالت نمایی نیز یک تابع ویژه برای این سیستم است.
یک ,های ,سیگنال ,سیستم ,تابع ,استفاده ,است که ,تبدیل لاپلاس ,تبدیل فوریه ,که در ,آن را ,تبدیل لاپلاس استفاده ,تبدیل استفاده میکنیم ,لاپلاس استفاده میکنیم
درباره این سایت